向量的乘法

点乘

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert cos\theta$ 如果希望求 $\theta$ 就可以这样求了：

$cos\theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert }$

如果是一个 单位向量，可以直接这样求：

$cos\theta =\hat{a}\cdot \hat{b}$

性质

• $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$
• $\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$
• $(k\vec{a})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot (k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$

基于 笛卡尔坐标系下的向量表示 运算

• 2d
  • $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b$
• 3d
  • $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$

叉乘

叉乘的目的是为了求出同叉乘对象垂直的向量

右手定则

使用右手描述从 a 到 b 旋转，随后拇指的方向就是叉乘结果的向量的方向

注意！叉乘不满足交换律

$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$

性质

• $\vec{x}\times \vec{y}=+\vec{z}$

• $\vec{y}\times \vec{x}=-\vec{z}$

• $\vec{y}\times \vec{z}=+\vec{x}$

• $\vec{z}\times \vec{y}=-\vec{x}$

• $\vec{z}\times \vec{x}=+\vec{y}$

• $\vec{x}\times \vec{z}=-\vec{y}$

• $\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$

• $\vec{a}\times \vec{a}=\vec{0}$

• $\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$

• $\vec{a}\times (k\vec{b})=k(\vec{a}\times \vec{b})$

基于 笛卡尔坐标系下的向量表示 运算

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{y}_a{z}_b-y_b{z}_a\\ z_a{x}_b-x_a{z}_b\\ x_a{y}_b-y_a{x}_b\end{array}\right)$$

基于矩阵 运算 ( 矩阵和向量的乘法)

$$\vec{a}\times \vec{b}=A\ast b=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ za& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)$$

本文标题：向量的乘法

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