博弈论-导论-lession1

概述

在第二节课中，讲师对 上一节课 中的 结尾内容 进行了总结和扩展。

囚徒困境

重新介绍了一下 囚徒困境，并指出 沟通本身并不能化解 他。解决囚徒困境的主要方式还是得跳出思维定势，一般有以下几种方式：

• 使用 制定协议 、制定规章制度 等方式
• 将 单次博弈 转化为 多次重复博弈
• 通过教育

最终通过 改变收益 的方式来破解这个问题。

提示

改变收益就能改变动机

比较有意思的是作者对 通过教育 来解决囚徒困境表达的悲观的态度，而在疫情之后来看，通过教育国民改变收益来破解反倒成为了最优解，很具有讽刺意味。时至今日仍然不得不承认这种耗费巨大的做法是具有可行性的。

博弈论的基本要素

博弈论的基本要素包括：

• 参与人 players 使用 $i,j$ 来表达
• 策略 strategies
  • 使用 $s_i$ 来表述某个参与人 $i$ 的某个策略
  • 使用 $S_i$ 来表述策略合集，也即是某参与人 $i$ 所有可能的策略集合
  • 使用 $s$ 来表示某一次博弈，可以称其为一个策略组合（也有被称作 策略组合、策略向量、或者是策略列表）
  • 使用 $s-i$ 代表除了 $i$ 以外的其余参与人的策略
• 收益 payoffs
  • 使用 $U_i(s_i,s_{i+1}..s_n)$ 来代表参与人 $i$ 的收益
  • 使用 $U_i(s)$ 简写来代表上文的收益，代表由 s 策略组合决定的参与人 $i$ 收益

分析收益

拿 猜三分之二平均数游戏 来举例子

$s_i$ 就是 14 这样一个具体的数字

$S_i$ 这个集合就是由 $\mathrm{1..100}$ 组成

而 $s$ 就代表譬如 上一节课 中提交的那些个作业，就是一次单独的博弈，最后 $U_i(s)$ 就等于

$$U_i(s)=\{\begin{array}{r}5-p\\ 0\end{array}$$

其中 $p$ 代表误差

一个随意的例子

	左 L	中 C	右 R
上 T	$5,-1$	$11,3$	$0,0$
下 B	$6,4$	$0,2$	$2,0$

参与人：

• player1 $S_1=[T,B]$
• player2 $S_2=[L,C,R]$

所以对于参与人 $i$ 的策略 $s{\prime }_i$ 严格劣势于参与人 $i$ 的另一个策略 $s_i$ ，在其他 参与人 $j$ 选择 $s-i$ 时，选择 si 的收益 $U_1(S)$ 严格优于此情况下选 $s{\prime }_i$ 的收益 $U_1(s_i^{\prime },s-i)$ ,这种情况下写作下面这样：

$U_i(s_i,s-i)>U_i(s_i^{\prime },s-i),s-i$

在上面这个例子中 player2 的 R 策略相较于 C 符合这一条件，可以认为 C 策略是 R 策略的 优势策略 或者也可以称为 R 是 C 的 严格劣势策略，所以我们如果是 player2 永远不应该选择 R 策略。

通俗的讲

这种情况下无论其他的参与人怎么选择， si 总是更好的选择也就是说他总是能带来更高的收益

进攻 vs 防守

下面举一个特殊的例子，假设有个将军准备进攻一个国家，总计由2单位的军队：

• E 代表平原，描述相对容易进攻的位置
• H 代表山路，描述相对困难的位置

对于收益我们使用剩余的兵力数量来代表，如果碰到防守部队，那么他会损失 1 兵力，而如果选择山路不论是否碰到防守部队，都会损失 1 兵力，基于此，会有如下收益矩阵：

	E	H
E	$1,1$	$1,1$
H	$0,2$	$2,0$

这边很快能判断出，进攻方选择平原不是一定严格优势于山路的，因为如果防御方选择平原防御的情况下，山路和平原的收益完全相同，所以需要引入一个新概念—— 平原 弱优势于 山路, 或者称作 山路为 弱劣势策略。

所以对于参与人 $i$ 的策略 $s{\prime }_i$ 弱劣势于参与人 $i$ 的另一个策略 $s_i$ ，在其他 参与人 $j$ 选择 $s-i$ 时，选择 si 的收益 $U_1(S)$ 大于等于此情况下选 $s{\prime }_i$ 的收益 $U_1(s_i^{\prime },s-i)$ ,这种情况下写作下面这样：

$U_i(s_i,s-i)\ge U_i(s_i^{\prime },s-i),s-i$

那么相对的，至少在某种情况下，对于其对手选择参与者 $i$ 的策略 $s-i$，必严格优于其他策略 $s_i^{\prime }$, 此表达于前文一致。

那么对于参与 $i$ 不应当选择弱劣势策略。

那么对于防守方来讲，最终的目标是进攻的士兵数量最小化，所以应该在平原设防。

猜数游戏

基于上面学到的知识，现在我们可以开始推导猜数游戏了。

按照算法，我们显然可以得出第一个结论：

大于 67 的数字是一个劣势策略，因为选择小于 67 的情况下总是比 大于 67 要优势。

随后一旦我们意识到 67-100 是劣势策略以后，我们会剔除他们，这样 45-67 就变成一个劣势策略：

大于45小于67 的数字由原先的非劣势策略转换为劣势策略。

以此类推： 最终结果会收束在 1

但是同样的，这样的推理的第一目标是：你是一个理性人，且你的对手也是一个理性人。

但是最终这个实验的结果并不是1，而是 9，很遗憾我也猜错了。

年份	平均数字
2003	18.5
2004	21.5
2005	23
2006	13.3

注：这次没有课后习题